Uthman called for water, washed his hands three times, then rinsed his mouth and his nose, then washed his face three times and his arms to the elbows three times, then wiped his head, then washed each foot three times, and said: I saw the Prophet perform wudu like this wudu of mine (Sahih al-Bukhari 164). Ibn Kathir notes that the Prophet, by many reports, rinsed his mouth and nose whenever he performed wudu, and that the imams differed on them: obligatory in wudu and the bath, the school of Ahmad ibn Hanbal, or recommended in both, the school of ash-Shafi’i and Malik. The scholar counts them within washing the face.

عن حمران مولى عثمان بن عفان: "أنه رأى عثمان دعا بوضوء، فأفرغ على يديه من إنائه، فغسلهما ثلاث مرات، ثم أدخل يمينه في الوضوء، ثم تمضمض، واستنشق، واستنثر، ثم غسل وجهه ثلاثا ويديه إلى المرفقين ثلاثا، ثم مسح برأسه، ثم غسل كل رجل ثلاثا، ثم قال: رأيت النبي صلى الله عليه وسلم يتوضأ نحو وضوئي هذا" (صحيح البخاري 164)، قال ابن كثير: وقد ثبت عن النبي صلى الله عليه وسلم من غير وجه في الصحاح وغيرها: أنه كان إذا توضأ تمضمض واستنشق، فاختلف الأئمة في ذلك: هل هما واجبان في الوضوء والغسل، كما هو مذهب أحمد بن حنبل رحمه الله؟ أو مستحبان فيهما، كما هو مذهب الشافعي ومالك؟

And your hands up to the elbows (5:6): Ibn Kathir explains “up to the elbows” as “with the elbows”, just as “to” means “with” in the verse on orphans, nor cheat them by mixing their wealth with your own (4:2). So the elbows are washed with the arms.
وَأَيْدِيَكُمْ إِلَى الْمَرَافِقِ (سورة المائدة: 6)

قال تعالى: (وأيديكم إلى المرافق) (المائدة 5: 6)، قال ابن كثير: وقوله: (وأيديكم إلى المرافق) أي: مع المرافق، كما قال تعالى: (ولا تأكلوا أموالهم إلى أموالكم إنه كان حوبا كبيرا) (النساء 4: 2).

And wash your feet to the ankles (5:6). Ibn Kathir reports that Ibn Abbas read “and your feet” with the washed limbs and said: it returns to washing. Abu Hurayrah, passing people making wudu, said: Perform wudu fully, for Abu al-Qasim, the Prophet, said: Woe to the heels from the Fire (Sahih al-Bukhari 165).
وَأَرْجُلَكُمْ إِلَى الْكَعْبَيْنِ (سورة المائدة: 6)

قال تعالى: (وأرجلكم إلى الكعبين) (المائدة 5: 6)، قال ابن كثير: عن ابن عباس أنه قرأها: (وأرجلكم) يقول: رجعت إلى الغسل، وقال أبو هريرة رضي الله عنه: "أسبغوا الوضوء فإن أبا القاسم صلى الله عليه وسلم قال: ويل للأعقاب من النار" (صحيح البخاري 165).

Ibn Kathir explains that the majority hold the order of the limbs to be required, taking it from the verse, while Abu Hanifa did not make it a condition. And Umar reports that a man performed wudu and left a spot the size of a nail on his foot; the Prophet saw it and said: Go back and perform your wudu well; so he went back, then prayed (Sahih Muslim 243). When water cannot be used, see the difference between wudu and tayammum.

قال ابن كثير: ومن هاهنا ذهب من ذهب إلى وجوب الترتيب كما هو مذهب الجمهور، خلافا لأبي حنيفة حيث لم يشترط الترتيب، وأخبر عمر بن الخطاب رضي الله عنه: "أن رجلا توضأ فترك موضع ظفر على قدمه فأبصره النبي صلى الله عليه وسلم فقال: ارجع فأحسن وضوءك، فرجع ثم صلى" (صحيح مسلم 243).